Generelles

Eines der umfangreichsten Gebiete digitaler Signalverarbeitung ist die Theorie digitaler Filter. Wir wollen uns zu diesem Thema auf ein paar vereinfachte, grundsätzliche Überlegungen beschränken.

Generell kann jeder Algorithmus, der ein digitales Signal verändert als Filter angesehen werden. Uns interessieren hier allerdings nur solche Algorithmen, die das Signal auf irgendeine klanglich sinnvolle Weise verändert, d.h. die Frequenz- und Phasenkomponenten des Eingangssignals verändert. Uns interessiert also auf der Analyseseite die Frequenzrespons und die Phasenrespons eines gegebenen Filters, und auf der Syntheseseite wie wir zu einer gegebenen Frequenz- und Phasenrespons ein Filter konstruieren können.

Wir können die Operation eines Filters durch folgende Gleichung beschreiben:

$$Y(z) = H(z)X(z)$$

Wobei $Y(z)$ die Z-Transformation (eine Verallgemeinerung der Fouriertransformation) des resultierenden Signals, $X(z)$ die Z-Transformation des Eingangssignals und $H(z)$ diejenige Funktion ist, die Z-Transformation des Eingangssignal in die des Ausgangssignal verwendelt, die Transferfunktion des Filters.

Um nun analysieren zu können, wie ein gegebenes Filter sein Eingangssignal verändert, müssen wir die Transferfunktion kennen. Die Frequenzrespons des Filters ist dann der Betrag der Funktion $\vert H(z)\vert$, Die Phasenrespons ist der Phasenanteil der Transferfunktion $\mbox{pha}[H(z)]$. (Für $z = e^{\omega j}$, d.H. die Z-Transformation ist gleich der Fouriertransformation)

Da $H(z)$ selbst eine Funktion über der Frequenz ist, wie sieht dann seine Darstellung über der Zeit aus? Nennen wir diese Funktion (über der Zeit) $h(n)$, die Impulsrespons des Filters, also diejenige Funktion, die entsteht, wenn man das Filter mit einem Signal beschickt, daß an der ersten Stelle eine digitale 1 enthält, und sonst überall 0.

Um nun die Transferfunktion eines gegebenen Filters zu erhalten, beschickt man das Filter mit einem Digitalen impuls und zeichnet das Ergebnis auf. Von diesem Ergebnis nimmt man die Fouriertansformation und nennt das Ergebnis $H(e^{\omega j})$, die Transferfunktion.