Lineare, kausale und zeitinvariante Filter

Beschränken wir uns bei digitalen Filtern auf solche, die linear, kausal und zeitinvariant sind, können wir unsere Betrachtungen erheblich vereinfachen. Ein Filter ist

linear

, wenn die Summe zweier gefilterter Signale gleich dem gefilterten Signal der Summe der Eingangssignale ist. d.h. wenn $f(x_1(n))$ das gefilterte Signal zu $x_1(n)$ und $f(x_2(n))$ das gefilterte Signal zu $x_2(n)$, dann ist $f(ax_1(n) + bx_2(n)) = af(x_1(n)) + bf(x_2(n))$

kausal

wenn das Filter nur von seinen gegenwertigen und vergangenen Eingangswerten und von seinen vergangenen Ausgangswerten abhängt

zeitinvariant

wenn es sich zu jedem Zeitpunkt gleich verhält (also z.B. heute keine andere Frequenzrespons hat als morgen)

Offensichtlich ist diese Beschränkung musikalisch nicht sehr gravierend. Sie hilft uns aber, da wir somit alle Filter, die wir betrachten wollen mit folgende Formel beschreiben können:

$$y(n) = \sum_{i=0}^M a_ix(n-i) - \sum_{i=1}^N b_iy(n-i)$$

wobei $a_i$ und $b_i$ Koeffizienten des Filters heißen. Ein solches Filter hängt von $M$ vergangener Eingangswerte, und $N$ vergangener Ausgangswerte ab, die rekursiv weiterverareitet werden.

Ein Filter heißt stabil, wenn der Ausgang, nachdem der Eingang 0 geworden ist, ständig abnimmt, d.h. gegen 0 konvergiert.

Ein Filter, dessen $b_i$ Koeffizeinten alle 0 sind, ist immer stabil, da es nur von seinem Eingangssignal abhängt, das ja irgendwann 0 wird. Ein solches Filter heißt Finite Impulse Response Filter oder FIR-Filter.

Wird ein Teil des Ausgangssignals wieder in das Filter zurückgeführt, d.h. ein Teil der $b_i$ Koeffizeinten ist nicht 0, so spricht man von rekursiven Filtern. Da der Ausgang eines rekursiven Filters theoretisch nie 0 wird (sondern sich bestenfalls beliebig nahe 0 nähert) heißt ein solches Filter Infinite Impulse Response Filter oder IIR-Filter. Der Ausgang eines solchen Filters kann eventuell immer größer werden. Solch ein Filter heißt dann instabil.

Die $M+1$ $a_i$ Koeffizienten bestimmen (auf durchaus komplizierte Art und Weise) die Position von $M$ Nullen oder Antiresonanzen des Filters, d.h. die Positionen im Spektrum an denen Frequenzen durch das Filter abgeschwächt werden.

Die $N$ $b_i$ Koeffizienten bestimmen (auf durchaus komplizierte Art und Weise) die Position von $N$ Polen oder Resonanzen des Filters, d.h. die Positionen im Spektrum an denen Frequenzen durch das Filter angehoben werden. Daher hat ein FIR Filter nur Antiresonanzen, während ein IIR-Filter mindestens eine Resonanz hat.

Resonanzen und Antiresonanzen können sich gegenseitig bis hin zum völligen Ausgleich beeinflussen. D.h. man kann ein Filter bauen, daß die Frequenzanteile des Eingangssignals unangetastet läßt, also lineare Frequenzrespons hat. Ein soclches Filter kann aber eine durchaus komplexe Phasenrespons haben. Ein solches Filter nennt sich Allpassfilter

FIR Filter können so gestaltet werden, daß sie eine lineare Phasenrespons haben, d.h. es gibt keine Frequenzabhängigen Phasenverschiebungen des Ausgangssignals gegebüber dem Eingangssignal. Der Gebrauch von IIR-Filter hat immer eine gewisse frequenzabhängige Phasenverschiebung zur Folge.