Frequenzmodulation

Die FM ist mathematisch nicht so einfach zu beschreiben, wie die AM. Prinzipiell handelt es sich dabei wie beim Waveshaping (siehe 4.1)um eine Funktionskomposition der Form $f(g(x))$.

Setzen wir für $f(x)$ $a\sin x$ und für $g(x)$ $cx + i\sin mx$ ein, so erhalten wir:

$$f(g(x)) = a\sin(cx + i\sin mx)$$

oder etwas spezifischer:

$$f(t) = A\sin(2\pi f_ct + I\sin(2\pi f_mt))$$

mit

$f_c$	=	Trägerfrequenz (Carrierfrequency)
$f_m$	=	Modulationsfrequenz
$I$	=	Modulationsindex ($\delta f/f_m$)

Eine Gleichung, die in etwa dem Schaltbild (Abb. 4.2 des foscil Generators in CSound entspricht.

Abbildung 4.2: foscil und foscili Generatoren

Warum hier $I$ anstatt $\delta f$ auftaucht hat damit zu tun, wie die ,,Frequenz zu einem Zeitpunkt`` (die es physikalisch gar nicht gibt) aufsummiert (integriert) werden muß, um die Phase zum entsprechenden Zeitpunkt zu errechnen.

Dieses FM-Spielchen kann natuerlich noch mit weiteren Generatoren und anderen Wellenformen auf vielfältigste Art und Weise fortgeführt werden. Auch dann kommt man, will man den Effekt beschreiben oder voraussagen schnell in Bereiche, wo dies sehr unhandlich oder sogar unmöglich wird. Wir wollen uns hier also zunächst auf eine Beschreibung dessen beschränken, was bei dieser einfachen FM passiert:

Das entstehende Spektrum enthält alle Additions- und Subtraktionsfrequenzen der beteiligten Ausgangsfrequenzen in mehr oder weniger großen Amplituden und entweder in Orginalphase, oder um 180 Grad phasengedreht. Frequenzen, die dabei negativ werden, werden (wiederum um 180 Grad phasengedreht) um die 0-Achse gespiegelt. Man spricht hier vom oberen und unteren Seitenband (bezogen auf die Trägerfrequenz.

Die Komponenten des unteren Seitenbandes sind abwechselnd gleicher und phasengedreht zu denen des oberen Seitenbandes.

Als Formel:

$$f(t) = A\sin(\alpha + I\sin\beta))$$ (4.1)

$$= a_0\sin\alpha + \sum_{k=1}^\infty a_k [\sin(\alpha + k\beta) + (-1)^k\sin(\alpha - \beta)]$$ (4.2)

Wie groß sind nun die einzelnen Amplituden $a_0$ bis $a_\infty$ ?

Diese hängen vom Modulationsindex ab und es gilt folgende Regel:

Die Amplitude einer Seitenbandkomponente $k$ bei einem Modulationsindex $I$ ist der Wert der Besselfunktion erster Art mit Ordnung $k$ an der Stelle $I$.

Besselfunktionen sind Lösungen einer Differentialgleichung ( $x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0$), leider aber keine einfachen Polynome.

Abbildung 4.3: Besselfunktionen 1. Art Ordnung 1 - 14

Abbildung 4.3 zeigt die Besselfunktionen 1. Art, Ordnung 1 - 14 und Ihre Auswirkungen auf die AMplituden der entsprechenden Seitenbänder.

Aus diesen geht hervor, daß bei höherem Index weitere Komponenten der Seitenbänder hinzutreten, und tiefere evtl. schwächer werden.

Stehen Träger und Modulator in einem harmonischen Verhältnis zueinander, (z.B. 2:3), ist das resultierende Spektrum ebenfalls harmonisch. Stehen sie nicht harmonisch zueinander (z.B. 1:1.4142), ist auch das Spektrum ein unharmonisches.

Beeinflußt man nun den Modulationsindex mit einer entsprechenden Hüllkurve, so kann man das Ein- und Ausschwingen der Seitenbänder kontrollieren, und so z.B. die Vereinfachung des Spektrums bei einem verklingenden Glockenklang simulieren.

Die folgenden Parametersetzungen mögen einen Anhaltspunkt für die Instrumentensimulation mit der einfachen FM bieten:

Glockig

Frequenz ca. 200Hz, f:m 1:1.4, maximaler Index ca. 10, Index- und Lautstärkehüllkurve exponentiell fallend (langsam)

Holztrommelartig

Frequenz ca. 80Hz, f:m 1:1.4545(16:11), maximaler Index ca. 25, Indexhüllkurve erst ansteigend, dann weich abfallend, Lautstärkekurve direkt linear abfallend.

Blechbläserartig

Bei Frequenz von. 440Hz, f:m 1:1, maximaler Index ca. 5, Beide Hüllkurve klassischer ADSR

Da bei der mehrfachen FM `a la DX7 die Theorie sehr schnell anfängt unhandlich zu werden, will ich sie hier auch nicht weiter vorstellen, sondern mich stattdessen mit ein paar Beispielen begnügen, die ein gutes Studienmaterial für eigene Untersuchungen abgeben.

Auch sei in diesem zusammenhang erwähnt, daß es einen Algorithmus gibt, mit dem man die Symmetrie der Seitenbandentwicklung geziehlt beeinflussen kann: Dazu wird das Trägersignal mit dem Modulatorsignal nicht nur Frequenz- sondern auch Amplitudenmoduliert. Der grad der Amplitudenmodulation bestimmt nun, ob das untere Seitenband an- und das obere abgeschwächt wird, oder umgekehrt. So kann man z.B. Formantbildungen beeinflussen, oder die durch die Spiegelung an der 0-achse entstehenden unharmonischen Anteile abschwächen oder anheben.

Die Detqils dieses Algorithmus spare ich mir hier, die Formeln zur Erklärung der Funktionsweise gehen teilweise nicht auf eine Seite